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La quartique de Klein, par Jos Leys.

La quartique de Klein, par Jos Leys.

Pendant longtemps, la géométrie algébrique s’est préoccupée des « courbes algébriques ». Il s’agit de courbes dans le plan qui sont définies par une équation, comme par exemple celle-ci :

x3y+y3+x=0 (pourquoi pas ?). L’idée géniale de Riemann a été d’interpréter chacune des coordonnées x ;y comme un nombre complexe, chacune ayant une partie réelle et imaginaire. La courbe « complexe » est alors une surface dans un espace de dimension 4 ! Penser à une courbe comme une surface de Riemann a été une idée extrêmement féconde. Par exemple, Klein, en étudiant la courbe x3y+y3+x=0 , a montré que la surface qui lui est associée a exactement 168 symétries ! Un peu comme on peut envisager un tore à partir d’un plan quadrillé par un échiquier de cases de deux couleurs, Klein montre comment on peut comprendre « sa courbe » en utilisant un échiquier toujours bicolore mais plus compliqué. Pour bien décrire ce pavage, il faudrait faire appel à la géométrie non euclidienne : une autre grande découverte du dix-neuvième siècle.


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