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\begin{document}
\begin{center} {\bf CALENDRIERS et FRACTIONS CONTINUES }{\bf  \\ ou\\ Pourquoi pouvait-on na{\^\i}tre un 29 f\'evrier en l'an 2000 
et pas en l'an 1900~?}
\end{center}



  Ce texte a \'et\'e \'ecrit \`a la suite d'une conf\'erence que je fais r\'eguli\`erement \`a des classes de coll\'egiens ou lyc\'eens dans le cadre de la f\^ete de la science \`a Orsay. 
Au d\'epart, c'\'etait en 1998 ou 1999, \`a la radio, des journalistes relataient une grave interrogation des fabricants de calendriers~:\\
\indent \hfill {\bf Y aurait-il un 29 f\'evrier en l'an 2000 ?}\hfill {} \\
 Certains soutenaient que comme en 1900 ou 1800, cette ann\'ee ne serait pas bissextile~; d'autres au contraire, affirmaient que 2000 \'etait une ann\'ee \`a part...\\
\indent \hfill {\bf 
 Mais au fait, pourquoi dit-on ann\'ee ``bissextile''~? et depuis quand~?}\hfill {} \\
 Toutes ces questions \'etaient un tr\`es bon pr\'etexte pour se pencher sur l'histoire de notre calendrier et donc, pour la math\'ematicienne que je suis, d'introduire les fractions continues.
 
 Tous les jeunes qui sont venus au d\'epartement de math\'ematique ou que j'ai \'et\'e voir dans leur \'etablissement sont arriv\'es avec une calculette et un crayon et ont fait les calculs que l'on fera plus loin jusqu'au bout. La plupart du temps, ils \'etaient accompagn\'es de leur professeurs de math\'ematique, quelque fois ils sont venus aussi avec leur professeur d'histoire qui s'est permis de m'aider \`a enrichir la partie historique de l'expos\'e mais a aussi fait comme les autres~: il a sorti sa calculette et son crayon et a fait les calculs jusqu'au bout en avouant \`a la fin que ``ce n'\'etait pas si simple quand on avait pas fait de maths depuis longtemps''... et je crois que l'ambiance dans la salle a totalement chang\'e.
 
 Les questions que me posent les \'el\`eves \`a l'issue de l'expos\'e sont toujours de deux sortes~: d'une part, ceux qui connaissent d\'ej\`a un autre calendrier veulent que je leur explique et l\`a je ne sais que conseiller certains livres o\`u cela est assez bien expliqu\'e~; d'autre part, ils veulent en g\'en\'eral tout de suite g\'en\'eraliser le d\'eveloppement en fractions continues \`a d'autres nombres, l\`a c'est pour moi bien plus facile, on introduit certains nombres c\'el\`ebres tels $\pi$, ${\sqrt 2}$, le nombre d'or ou s'ils sont plus savants $e$, on reprend la calculette et le crayon et on fait des maths...
 
 
 
\noindent {\bf I - Les diff\'erents types de calendriers~:}

De tout temps, les peuples ont eu besoin de se rep\'erer dans le temps,
d'abord en comptant les jours, puis en observant le ciel et plus particuli\`erement la lune et le soleil.

\noindent{\bf Les calendriers lunaires~:}
Les premiers calendriers ont d'abord \'et\'e lunaires. En effet, le cycle de la lune est tr\`es facile \`a observer, on peut
rep\'erer ais\'ement ses changements de phase. (Pleine Lune, Nouvelle Lune, Premier et Dernier Quartier).
De plus, la marche des saisons revient \`a peu pr\`es \`a 12 lunaisons. (=354 jours).

On s'est d'abord servi de calendriers lunaires en M\'esopotanie, en Egypte, en Gr\`ece, \`a Rome, en Chine. Ces calendriers
comportaient 12 mois de 29 ou 30 jours altern\'es de fa\c con \`a suivre les lunaisons (=29,53 jours). A Babylone, quand l'\'ecart
avec les saisons devenait trop g\'enant, le souverain promulguait l'ajout d'un mois suppl\'ementaire.

Actuellement, le calendrier lunaire le plus connu est le calendrier musulman. Il comprend 12 mois de 30 et 29 jours. Le dernier
mois de l'ann\'ee a une dur\'ee variable de 29 ou 30 jours pour mieux s'adapter aux mouvements de la lune (c'est \`a cause du 29,53
et non 29,5). Dans un cycle de 30 ans, il y a 19 ann\'ees communes (le dernier mois de l'ann\'ee a 29 jours) et 11 ann\'ees abondantes
(le dernier mois de l'ann\'ee a 30 jours). Tous les ans les mois reculent par rapport aux saisons, la correspondance entre le calendrier
musulman et le calendrier gr\'egorien se reproduit tous les 34 ans.

Les calendriers lunaires conviennent tr\`es bien aux peuples nomades et \`a ceux qui vivent de la mer. Ils posent des probl\`emes
pour les cultivateurs car ils se d\'ecalent par rapport aux saisons.
 
\noindent{\bf Les calendriers luni-solaires~:}
Certains peuples ont tent\'e d'ajuster leur calendrier lunaire \`a l'ann\'ee solaire en rajoutant si n\'ecessaire des mois
suppl\'ementaires. M\'eton (astronome grec du 5\`eme si\`ecle avant J\'esus-Christ) a remarqu\'e que 19 ann\'ees solaires
correspondent \`a 235 mois lunaires (19$\times$12=228). Il faut donc rajouter 7 mois en 19 ans pour mettre en phase le calendrier
lunaire avec l'ann\'ee solaire.

Actuellement, les juifs utilisent un calendrier luni-solaire.
Pendant longtemps, les h\'ebreux rajoutaient un mois suppl\'ementaire avant la f\^ete de P\^aque, Pessah, qui doit avoir lieu au
printemps. Ils faisaient cela de fa\c con empirique, ils regardaient si l'orge qui sert \`a la f\^ete serait m\^ure pendant le mois
de Nisan (celui de Pessah), sinon ils doublaient ce mois.
En 359 apr\`es JC, le calendrier h\'ebra{\"\i}que est r\'eform\'e en utilisant le cycle de M\'eton, de fa\c con \`a ce que tous les
juifs f\^etent P\^aque ensemble.

Les calendriers luni-solaires sont en fait tr\`es compliqu\'es et ne sont pas bien adapt\'es aux peuples qui vivent essentiellement
de l'agriculture, par exemple, les semis se font \`a des dates tr\`es pr\'ecises. Il leur est plus facile de vivre avec un
calendrier solaire.


\noindent{\bf Les calendriers solaires~:} 
Ils sont apparus beaucoup plus tard, pour la simple raison qu'il est plus facile de se rendre compte du cycle lunaire que du cycle
de celui des saisons. Les calendriers \'egyptien et maya sont les  plus anciens calendriers solaires connus.

Actuellement nous utilisons un calendrier solaire, c'est le calendrier gr\'egorien.

\noindent {\bf II - Un rapide aper\c cu de l'histoire du calendrier gr\'egorien~:}

La terre tourne autour du soleil en \`a peu pr\`es un an. Ce {\it \`a peu pr\`es} fait appara{\^\i}tre des
d\'ecalages sensibles plus ou moins rapidement.

\noindent {\bf En Egypte : le calendrier vague~:}
Au d\'epart, les \'egyptiens avaient un calendrier de 12 mois de 30 jours qui \'etaient divis\'es en trois d\'ecades.
Tr\`es vite, ce peuple qui vivait essentiellement de l'agriculture s'est rendu compte que la crue du Nil se
d\'ecalait tous les ans. Ils ont rajout\'e 5 jours {\it \'epagom\`enes} (litt\'eralement~: {\it ``les cinq qui sont
au dessus de l'ann\'ee"}) \`a la fin de leur calendrier.

Beaucoup plus tard, ils se sont rendus compte que leur calendrier n'\'etait pas encore assez pr\'ecis~: une fois
par an, l'\'etoile Sirius se levait \`a l'aplomb du soleil levant et cela pr\'ec\'edait de peu la crue du Nil.
Ce ph\'enom\`ene se reproduisait tous les 365 jours pendant 3 ans de suite et un jour plus tard l'ann\'ee 
suivante.
L'ann\'ee est donc trop courte de un quart de jour par an. Cependant, il y eut une tr\`es forte opposition des
pr\^etres en Egypte, les \'egyptiens ont donc gard\'e leur calendrier de 365 jours.
 
On l'appelle le calendrier {\it vague}. Le calendrier ne se d\'ecalait cependant pas trop car les rois rajoutaient
des jours de f\^ete suppl\'ementaires quand ils estimaient que cela \'etait n\'ecessaire. 

\noindent {\bf A Rome : le calendrier julien~:}
Avant d'inventer le calendrier julien, les romains utilisaient un calendrier luni-solaire~: une ann\'ee de 355 jours, r\'epartie en 12 mois. Tous les deux ans, un mois suppl\'ementaire \'etait ajout\'e afin  d'\'eviter un trop grand d\'ecalage dans les saisons. Cependant, pour allonger leur mandat, certains consuls (ils \'etaient \'elus le premier jour de l'ann\'ee) ont abus\'e de ce mois suppl\'ementaire, ainsi en 46 avant J\'esus-Christ, le calendrier romain avait trois mois d'avance sur le cycle des saisons.  

Jules C\'esar impose alors un changement de calendrier, il suit les recommandations des astronomes d'Alexandrie et impose un calendrier solaire avec un cycle de 4 ans : 3 ann\'ees de 365 jours et 1 ann\'ee de 366 jours.

On notera que le calendrier romain diff\`ere du calendrier \'egyptien dans le
d\'ecoupage en mois, il comprend 7 mois de 31 jours, 4 mois de 30 jours et un mois de 28 jours.  Ce mois (f\'evrier) 
est plus court et sert au culte des morts.
 Il est donc par tradition et aussi par superstition plus court que les autres.


Jules-C\'esar (et Sosig\`ene son astronome) r\'eussit \`a imposer des ann\'ees de 365 ou 366 jours. Ce jour suppl\'ementaire a \'et\'e subtilement rajout\'e au mois de f\'evrier : par superstition du peuple romain, il ne fallait surtout pas que le mois de f\'evrier 
devienne plus long et donc  ce jour supl\'ementaire est intercal\'e entre le 23\`eme et le 24\`eme jour. Ainsi, on {\it double} le {\it sixi\`eme} jour avant les calendes de mars. Ce qui explique le nom de ces ann\'ees
plus longues que les autres~: {\it bissextile}. 

Il faut remarquer qu'au temps de Jules-C\'esar, les mois ne sont pas d\'ecoup\'es en semaines. Les jours particuliers des mois sont les Calendes (le premier jour du mois), les Nones (le 5\`eme jour du mois sauf pour les mois de mars, mai, juillet et octobre o\`u c'est  le 7\`eme jour) et les Ides qui ont lieu 8 jours apr\`es les Nones.  Les romains comptaient les jours  \`a l'envers \`a partir de ces trois jours l\`a. Ainsi le 24 f\'evrier est le sixi\`eme jour avant les Calendes du mois de mars.

Le d\'ecoupage  de l'ann\'ee en semaines (comme nous le connaissons) se fera  plus tard. Les chr\'etiens rythm\`erent 
la succession des jours par des semaines de 7 jours, elles sont inspir\'ees par le calendrier juif. Progressivement, l'Empire romain adopte le rythme de la semaine et un jour de repos exclusivement consacr\'e \`a Dieu. En 321, l'empereur Constantin interdit les activit\'es publiques dans les villes le dimanche. 
 
C'est le calendrier {\it julien}, il est rest\'e en usage tr\`es longtemps. Les russes l'utilisaient encore en 1917.

\noindent {\bf L'Eglise catholique : le calendrier gr\'egorien~:}
A partir du moment o\`u les empereurs romains se convertissent au catholicisme, le pouvoir appartient \`a l'Eglise. Comme toutes les civilisations
pr\'ec\'edentes, elle veut asseoir son pouvoir en adaptant le calendrier. Une des m\'ethodes les plus efficaces
est de transformer les f\^etes d\'ej\`a existantes en f\^etes religieuses. Les romains avaient leurs principales f\^etes aux solstices d'hiver (la dur\'ee de la nuit de ce jour est la plus longue de l'ann\'ee) d'\'et\'e (c'est le jour qui a la nuit la plus courte de l'ann\'ee) et aux \'equinoxes (la dur\'ee du jour et de la nuit sont \'egales) de printemps et d'automne. Ainsi, elle place~:\\
\indent --- No{\" e}l, le 25 d\'ecembre, on f\^etait avant la naissance du soleil invaincu au solstice d'hiver.\\
\indent ---  L'annonciation et la f\^ete de l'archange Gabriel, le 25 mars, on f\^etait avant l'\'equinoxe de prin\-temps.\\
\indent ---  La saint Jean-Baptiste, le 24 juin, on f\^etait avant le solstice d'\'et\'e.\\
\indent --- La saint Michel, le 29 septembre, on f\^etait avant l'\'equinoxe d'automne. 

La grande f\^ete religieuse de P\^aques est une f\^ete mobile qui a lieu au printemps un dimanche pendant la
p\'eriode de pleine lune qui suit l'\'equinoxe de printemps.

En 325, l'\'equinoxe de printemps a lieu le 21 mars, le concile de Nic\'ee fixe donc d\'efinitivement la date de P\^aques ou plut\^ot la date de l'\'equinoxe de
printemps au 21 mars. Il faut quand m\^eme noter qu'il y a un d\'ecalage de 3 ou 4 jours avec l'\'equinoxe fix\'ee
par Jules-C\'esar et Sosig\`ene. Les p\`eres de l'Eglise expliquent que c'est Sosig\`ene qui s'est tromp\'e.

Mais en 1582, soit 1257 ans apr\`es, l'\'equinoxe de printemps a lieu le 11 mars, il s'est donc produit un d\'ecalage de 10 jours en 1257 ans. Pour \'eviter que cela ne se reproduise, le pape
Gr\'egoire XIII impose donc un rattrapage du calendrier, l'ann\'ee 1582 n'a que 355 jours et \`a Rome, le lendemain du jeudi 4
octobre fut le vendredi 15 octobre. Il d\'ecide aussi de supprimer  3 jours en 400 ans donc de supprimer le
caract\`ere bissextil des ann\'ees multiples de 100 et non multiples de 400. Ainsi 1600 et 2000 sont bissextiles alors que 1700, 1800 et
1900 ne le sont pas.



C'est le calendrier {\it gr\'egorien} que nous utilisons encore.

Le calendrier gr\'egorien a \'et\'e tr\`es progressivement adopt\'e par presque tous les pays. En France (qui \`a l'\'epoque ne comprend pas encore le Nord, la Lorraine, l'Alsace, la Franche-Comt\'e, la Savoie et le Comt\'e de Nice), sous Henri III,  le lendemain du dimanche 9 d\'ecembre 1582 est le lundi 20 d\'ecembre 1583. L'URSS a par exemple abandonn\'e le calendrier julien pour le calendrier gr\'egorien en 1918.

\noindent {\bf III - Retrouvons math\'ematiquement tous ces r\'esultats empiriques~:}

On va voir maintenant que si on sait de fa\c con pr\'ecise la dur\'ee d'une ann\'ee, on peut faire tous les
calculs pour constater que le calendrier gr\'egorien (obtenu par t\^atonnements successifs) est finalement tr\`es pr\'ecis.

La terre met \`a peu pr\`es un an pour tourner autour du soleil. 
Beaucoup plus pr\'ecis\'ement, la terre tourne
autour du soleil en~: \\
\begin{center}365 jours 5 heures 48 minutes et 46 secondes ou en 365,24220 jours.\end{center}

On va maintenant chercher les meilleures fractions rationelles (des nombres de la forme ${p\over q}$ o\`u $p$ et 
$q$ sont des entiers) qui approchent 365,24220.

Bien entendu la premi\`ere fraction qui vient \`a l'esprit c'est 365 =${365\over 1}$. C'est le calendrier vague des
\'egyptiens.

En fait pour que les calculs soient plus faciles, on va chercher des fractions de la forme $365+{p\over q}$ 
o\`u $p$ et $q$ sont des entiers et $p$ est plus petit que $q$.

On peut le faire avec le {\it d\'eveloppement d\'ecimal} des nombres. Mais d'abord ce n'est pas une m\'ethode tr\`es
pr\'ecise, que vous connaissez d\'ej\`a et j'ai envie de vous raconter un peu des maths que je fais. On va donc utiliser {\it le
d\'eveloppement en fractions continues} des nombres. C'est une m\'ethode tr\`es ancienne, Euclide la connaissait
d\'ej\`a, il a par exemple calcul\'e comme cela de tr\`es bonnes approximations du nombre $\pi $. Elle est
tr\`es puissante car l'erreur commise entre un r\'eel et son approximation par un rationnel est la plus petite possible parmi toutes les
fa\c cons d'approcher un r\'eel par un rationnel. Elle n'est  pas tr\`es compliqu\'ee, on l'utilise par exemple pour faire des calculs sur
machine, le d\'eveloppement en fractions continues d'un nombre prend autant de place que le d\'eveloppement d\'ecimal dans un ordinateur.

Comment s'y prend-t-on ?

On cherche donc une fraction qui approche tr\`es bien 365,24220. On la veut sous la forme $365+{1\over p}$.
On remarque que~:
$$365+{1\over 5}<365,24220<365+{1\over 4},$$ 
On a m\^eme mieux~:
$$365,24220=365+{1\over 4+\dots\dots}.$$
On retient $365+{1\over 4}$ c'est le calendrier julien : une ann\'ee bissextile toutes les 4 ann\'ees.

Maintenant, on recommence avec le petit reste qui est apparu. On cherche une fraction de la forme $4+{1\over p}$
qui approche tr\`es bien $4+ \dots\dots$. On a~:
$$4+{1\over \dots }< 4+ \dots\dots\ <4+{1\over \dots }.$$
Et donc en faisant attention au sens des in\'egalit\'es, on obtient~:
$$365+\frac{1}{4+\frac{1}{ 7}}<365,24220<365+\frac{1}{4+\frac{1}{ 8}}.$$
C'est la m\^eme chose que~:
$$
365+{7\over 29}<365,24220<365+{8\over 33}.
$$
V\'erifions maintenant que la fraction $365+{8\over 33}$ donne le calendrier gr\'egorien.\\ 
On remarque $400=4(33\times 3+1)$.\\
Ainsi~:
$$(365+{8\over 33})\times 400=365\times 400+3\times 32+{32\over 33}\mbox{ qui est tr\`es proche de } 365\times
400+97,$$ 
et pendant ce temps, il se sera \'ecoul\'e~:
$$365,24220\times 400=365\times 400+ \dots\dots\mbox{ jours}.$$
C'est le bon nombre de jours et on obtient bien le calendrier gr\'egorien une ann\'ee de 365 jours, tous les 4 ans
une ann\'ee bissextile et on en supprime 3 tous les 400 ans. 

Mais, il faut encore supprimer une ann\'ee bissextile tous les 5000 ans environ. On le voit par exemple en comptant le
nombre de jours qui se sont \'ecoul\'es en 10000 ans.
$$365,24220\times 10000=3652422,0 \mbox{ jours et }
(365+{8\over 33})\times 10000=3652424,24 \mbox{ jours.}$$
Entre l'an 2001 et l'an 12000, il y aura  3650000+(2500-1)-75=3652424 jours dans le calendrier gr\'egorien, donc 2 jours de trop.
Cependant le temps de rotation de la
terre autour du soleil n'est pas constant. (La terre met en gros 5 secondes de moins pour tourner autour du soleil qu'il y a 1000 ans.) 
Le calendrier gr\'egorien est donc, \`a l'\'echelle humaine et historique, bien assez pr\'ecis.

\noindent {\bf IV - D\'eveloppements en fractions continues de quelques nombres c\'el\`ebres~:}


\noindent{\bf  D\'eveloppement en fractions continues de $\pi$.}
Une calculatrice donne comme valeur approch\'ee : $$\pi=3,141592654\dots$$
On fait le m\^eme genre de calculs que ceux que l'on vient de faire pour 365,2422, on trouve 
$$\pi= 3+{1\over 7+{1\over 15+{1\over 1+{1\over 293+\dots}}}}$$
Ce qui donne les approximations rationnelles suivantes~:

{\bf 1.} $3$ c'est l'approximation des cantonniers quand ils comptent le nombre de plants \`a acheter pour faire le tour d'un massif rond.

{\bf 2.} $3+{1\over 7}={22\over 7} $ et ${22\over 7}\simeq \underline{3,14}285\dots.$ C'est l'approximation connue des \'ecoliers quand les calculettes n'existaient pas.
 
 
 
{\bf 3.} $ 3+{1\over 7+{1\over 15}}={333\over 106}$ et ${333\over 106}\simeq \underline{3,1415}094\dots.$

{\bf 4.} $3+{1\over 7+{1\over 15+{1\over 1}}}={355\over 113}$ et ${355\over 113}\simeq \underline{3,141592}92\dots.$ 

{\bf 5.} $ 3+{1\over 7+{1\over 15+{1\over 1+{1\over  293}}}}={103993\over 33102}$ et ${103993\over 33102}\simeq\underline{3,14159265}39\dots$



\noindent{\bf D\'eveloppement en fractions continues du nombre d'or.}
Dans un carr\'e d'aire 1, on d\'ecoupe un grand rectangle, un petit rectangle et un petit carr\'e comme sur le dessin.
\begin{center}
\begin{picture}(50,50)
\put(0,0){\line(1,0){50}}
\put(0,0){\line(0,1){50}}
\put(0,50){\line(1,0){50}}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
\put(0,32){\line(1,0){50}}
\put(32,32){\line(0,1){18}}
\put(25,2){1}
\put(43,15){${1\over x}$}
\end{picture}
\end{center}
On cherche $x$ tel que le rapport des largeurs et des longueurs des rectangles soient \'egaux. Ce nombre $x$ est appel\'e nombre d'or.
On veut donc~:
$${{1\over x}\over 1}={1-{1\over x}\over{1\over x}}(=x-1),\mbox{ c'est-\`a-dire }{1\over x}=x-1,$$
donc~: \begin{eqnarray*}
x&=&1+{1\over x}=1+{1\over 1+{1\over x}}=1+{1\over 1+{1\over 1+{1\over x}}}\\
&=&\dots=1+{1\over 1+{1\over 1+{1\over 1+{1\over 1+\dots}}}}\simeq 1,618 033 989\dots
\end{eqnarray*}
On retrouve ce nombre un peu partout, en architecture, en biologie, en dessin, en math\'e\-matique..., par exemple dans un probl\`eme c\'el\`ebre de prolif\'eration des lapins d\^u au math\'e\-maticien italien L\'eonard de Pise dit FIBONACCI (1175 - 1240) : {\it
"Combien de couples de lapins obtiendrons-nous \`a la fin de chaque mois si commen\c c�ant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence~?" }

La suite des fractions qui approchent le nombre d'or est alors~:
$$1, 2,{3\over 2}, {5\over 3}, {8\over 5}, {13\over8}, {21\over 13}, {34\over 21},\dots$$ 

\noindent{\bf D\'eveloppement en fractions continues de $\sqrt {2}$.}
On peut d\'efinir ce nombre comme la longueur du c\^ot\'e d'un carr\'e d'aire 2. Une valeur approch\'ee de $\sqrt{2}$ tr\`es pr\'ecise est par exemple~:  $$1,41421356237309048801688724209698078569671875376948073176679737990732478\dots$$ Dans la suite on se contentera de la valeur approch\'ee suivante~: $$\sqrt {2}=1,414213\dots=1+0,414213\dots$$
Alors
 \begin{eqnarray*}
0,414213\dots&=&{1\over 2,414213\dots}={1\over 2+ 0,414213\dots}\\
&=&{1\over 2+ {1\over 2+ 0,414213\dots}}={1\over 2+{1\over 2+ {1\over 2+ 0,414213\dots}}}\\
&=&\dots={1\over 2+{1\over 2+ {1\over 2+{1\over 2+{1\over 2+ {1\over 2+ \dots}}}}}}.
\end{eqnarray*}
Ainsi on obtient $$\sqrt {2}=1+{1\over 2+{1\over 2+ {1\over 2+{1\over 2+{1\over 2+ {1\over 2+ \dots}}}}}}.$$
 
 \noindent{\bf V - Allons voir plus loin}\\
  \indent{\it V.1 - L'algorithme des fractions continues}
  
  \noindent On peut d\'evelopper en fractions continues n'importe quel nombre r\'eel~: disons qu'il s'appelle~$x$.
  
 \noindent  On cherche l'entier $a_{0}$ tel que $x$ s'\'ecrit $a_{0}+x_{0}$ avec $x_{0}$ compris entre 0 et 1.
  
   \noindent Le but de la man\oe uvre  est de r\'eussir \`a \'ecrire $x$ sous la forme $$x=a_{0}+{1\over a_{1}+{1\over a_{2}+{1\over a_{3}+...}}}.$$
  Pour calculer les nombres entiers $a_{1},$ $a_{2}$, 	$a_{3}$,... qui vont appara\^\i tre, on fait la manipulation suivante (c'est exactement celle qu'on a fait avec la calculette avant)~:
  
 --- On calcule ${1\over x_{0}}$ (c'est un nombre r\'eel plus grand que 1).
  
  --- On l'\'ecrit sous la forme partie enti\`ere + partie d\'ecimale~: ${1\over x_{0}}=a_{1}+x_{1}.$ 
  
 --- On a alors~: $x_{0}={1\over a_{1}+x_{1}}$ et donc $x=a_{0}+{1\over a_{1}+x_{1}}$.
  
 \noindent On peut voir $x_{1}$ comme un petit reste~: un nombre entre 0 et 1 avec lequel on peut recommencer.
  
  \noindent Donc on calcule ${1\over x_{1}}$ (c'est un nombre r\'eel plus grand que 1).
On l'\'ecrit sous la forme partie enti\`ere + partie d\'ecimale~: ${1\over x_{1}}=a_{2}+x_{2}.$ 
   On a alors~: $x_{1}={1\over a_{2}+x_{2}}$ et donc $x=a_{0}+{1\over a_{1}+{1\over a_{2}+x_{2}}}$.
  On peut voir $x_{2}$ comme un petit reste~: un nombre entre 0 et 1 avec lequel on peut recommencer...
  
  Et on peut recommencer...
  
  ... \`a l'\'etape $n$, on trouve $x=a_{0}+{1\over a_{1}+{1\over a_{2}+{1\over a_{3}+{1\over\ddots+{1\over a_{n}+x_{n}}}}}}$.
  
  \noindent{\bf Remarque~:} Je n'ai pas \'et\'e pr\'ecise, il se peut qu'\`a une \'etape, disons l'\'etape $n$, on ne puisse pas calculer ${1\over x_{n}}$ car $x_{n}$ est nul. Ce n'est pas grave et tout \`a fait normal, c'est juste le signe que le nombre dont on est parti est rationnel (donc d\`es le d\'epart une fraction).  
  
  La manipulation que l'on vient de faire (ou celle qu'on a fait avec la calculette avant) est ce qu'on appelle {\it l'algorithme des fractions continues}.
  
  Si maintenant, on choisit le nombre $x$ dont on part au hasard entre 0 et 1. On peut alors regarder comment se r\'epartissent dans l'intervalle $[0,1]$ les restes $x_{n}$ qui apparaissent \`a chaque \'etape de l'algorithme. Les math\'ematiciens savent depuis tr\`es longtemps, en fait depuis Gauss (1777-1855) que les $x_{n}$ vont se r\'epartir suivant la mesure invariante et ici suivant la mesure de Gauss (celle qui a pour densit\'e la fonction d\'efinie par $h(x)={1\over \ln 2}{1\over 1+x}$).

Cela signifie que la probabilit\'e que $x_{0}\leq t$ est donn\'ee par la fonction suivante~:
 
 En math\'ematique, la donn\'ee d'une transformation (ici on transforme $x_{1}$ en $x_{2}$) et de sa mesure invariante est ce qu'on appelle un syst\`eme dynamique (mesur\'e). Les propri\'et\'es de la  transformation de Gauss sont \'etudi\'ees depuis fort longtemps. On peut citer Khintchine ou Paul L\'evy pour l'\'etude des propri\'et\'es statistiques de cette transformation.
 
 Actuellement, la transformation de Gauss sert beaucoup comme syst\`eme dynamique test. On ne sait certes pas tout sur cette transformation, mais souvent on peut esp\'erer tester des conjectures sur les syst\`emes dynamiques sur cette transformation. En effet, avec elle, les calculs sont relativement abordables \`a la main ou \`a l'aide d'un ordinateur. Cette transformation a une autre utilit\'e~: quand on sait faire une d\'emonstration pour elle, on aura \'et\'e oblig\'e de d\'eployer des techniques telles qu'ensuite on sera capable de faire la m\^eme d\'emonstration pour une classe bien plus grande de syst\`emes dynamiques.
 
 {\it V.2 - L'algorithme de Jacobi-Perron}
 
 \noindent Pour g\'en\'eraliser encore, je peux  maintenant pr\'esenter un sujet de recherche encore ouvert~: {\bf l'appro\-xi\-mation simultan\'ee}.
 
 On cherche \`a approcher en m\^eme temps deux nombres disons qu'ils s'appellent $x$ et $y$ par des fractions. C'est-\`a-dire, on cherche des fractions ${p\over q}$ et ${r\over q}$ avec le m\^eme  d\'enominateur (=$q$) qui vont s'approcher de mieux en mieux $x$ et $y$.
 Ce probl\`eme n'est pas sorti tout droit de l'imagination d'un math\'ematicien qui a envie de g\'en\'eraliser au cas de deux nombres ce qu'il sait faire pour un seul. On peut d\'ej\`a voir appara\^\i tre ce probl\`eme en se posant la question suivante sur les calendriers~:
 comment faire un calendrier luni-solaire pr\'ecis. Il faudra savoir approcher simultan\'ement le mois lunaire 29,53 jours et l'ann\'ee solaire 365,24220 par des fractions. 
 
 Un algorithme analogue \`a celui des fractions continues a \'et\'e propos\'e par Jacobi en 1886.
 
 L'\'etude de cet algorithme \'etait le sujet de doctorat d'Oscar Perron, sa th\`ese a \'et\'e publi\'ee en 1907. Depuis les travaux de Fritz Schweiger, en 1973, on sait qu'il existe une mesure analogue \`a la mesure de Gauss. J'ai moi-m\^eme contribu\'e \`a l'\'etude des propri\'et\'es de sa densit\'e (l'analogue de la fonction $h(x)={1\over \ln 2}{1\over 1+x}$ pour l'algorithme des fractions continues) dans mon travail de th\`ese en 1994. On conna\^\i t suffisament de propri\'et\'es de cette densit\'e pour pouvoir montrer des propri\'et\'es tr\`es fines et tr\`es difficiles de l'algorithme de Jacobi-Perron (cf Broise-Guivarc'h en 2001). Par contre, on ne conna\^\i t absolument pas la valeur exacte de cette fonction. \`A l'aide de calculs sur ordinateurs, on sait juste donner une allure de son graphe, c'est ce qu'ont fait dans leur m\'emoire M1 (initiation \`a la recherche)  Pierre Lofredi et Jean-Baptiste Midez deux \'etudiants de Pierre Arnoux en mai 2009.
 
 \noindent{\bf Quelques r\'ef\'erences~:}\\
 --- A. Shimony, Le Trou dans le Calendrier, le Pommier, nouvelle \'edition 2006, {\it (un roman facile \`a lire avec deux annexes sur l'astronomie).}\\
--- S. Baussier, M. Angeli, Petite Histoire du Temps, SYROS jeunesse, 2002, {\it (explique rapidement les diff\'erents calendriers utilis\'es
actuellement, s'adresse \`a des coll\'egiens)}. \\
--- P. Couderc, Le Calendrier, Que sais-je ?, n. 203, PUF, 1946.\\
--- J. de Bourgoing, Le Calendrier Ma{\^\i}tre du Temps ? D\'ecouvertes Gallimard, n. 400, 2000,{\it (le plus attrayant)}.\\
--- P. de La Cotardi\`ere, Le Monde du Temps, Circonflexe, 1997, {\it (le plus facile)}.\\
--- H. M.  Enzensberger,  Le D\'emon des Maths,   Editions du Seuil, M\'etaili\'e Paris, 1997, {\it (un roman o\`u on apprend plein de choses sur les maths, en particulier sur les lapins de Fibbonacci, le nombre d'or et la suite 1,1,2,3,5,8,13,21,34....)} \\
--- J. Lefort, La Saga des Calendriers, Belin, Pour la Science, 1998 {\it (beaucoup plus difficile)}.

 
 \end{document} 