\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\vspace{-0.5cm}
\noindent
{\bfseries\large Fonctionnement des fonctions}\hfill

\vspace{0.5cm}

\noindent
Patrick POPESCU-PAMPU \\

% 3 Juin 2009

Les d\'efinitions 
modernes de la notion de \emph{fonction}, fruits d'une longue p\'eriode de critique des
fondements logiques des math\'ematiques, passent par la th\'eorie des
ensembles. On dit que l'on a une \emph{fonction} d'un 
ensemble-\emph{source} \`a un ensemble-\emph{but} si on associe \`a chaque
\'el\'ement de la source un \emph{unique} \'el\'ement du but. 

Lorsqu'elle est accompagn\'ee de nombreux exemples concrets (la
fonction qui associe \`a chaque point de la terre sa temp\'erature,
celle qui associe \`a chaque personne sa taille, celle encore qui associe 
\`a chaque position de l'aiguille des heures, la 
position correspondante de l'aiguille des minutes, etc.) ceci constitue  une bonne d\'efinition. 
Mais du flou 
persiste du point de vue logique : que signifie `un ensemble' ou quels sont les 
mani\`eres d'`associer' ? De nombreux efforts ont \'et\'e faits pour \'eclaircir
ces points, et la notion de fonction s'est vue par cons\'equent 
d\'efinie de mani\`ere parfois tr\`es compliqu\'ee. 


Se pose alors la question de savoir comment
reconna\^{\i}tre si une d\'efinition  est
\emph{correcte}. Non pas du point de vue logique (on ne se demande donc pas 
si elle est non-contradictoire), mais du point de
vue s\'emantique : le concept d\'efini signifie-t-il bien ce que l'on
attend de lui ? Englobe-t-il les exemples les
plus \'el\'ementaires que l'on a envie d'appeler de ce nom ? Entre autres, 
on est amen\'es \`a s'interroger sur ce que l'on a eu d'abord
envie d'appeler de cette mani\`ere. 

\`A la page FVR III.62 des notices
historiques du volume  ``\emph{Fonctions d'une variable r\'eelle}'' de
Bourbaki, on apprend qu'en 1698, Johann Bernoulli se met d'accord avec
Leibniz pour donner \`a ``\emph{une quantit\'e form\'ee d'une mani\`ere
quelconque \`a partir de $x$ et de constantes}'' le nom de
``\emph{fonction de $x$}''. \`A la m\^eme page, on apprend que Leibniz
utilisait ce terme bien avant dans un sens un peu diff\'erent, mais
plus proche de l'usage commun, reli\'e au nom ``fonctionnaire'' et au
verbe ``fonctionner'' :

\emph{[...] d\'ej\`a dans un manuscrit de 1673, Leibniz avait employ\'e
  ce mot comme abr\'eviation pour d\'esigner une grandeur
  \emph{remplissant telle ou telle fonction} aupr\`es d'une courbe,
  par exemple la longueur de la tangente ou de la normale (limit\'ee
  \`a la courbe et \`a $Ox$), ou bien la sous-normale, la
  sous-tangente, etc. [...] }

Que s'est-il pass\'e entre 1673 et 1698 pour que l'on assiste \`a ce glissement 
de la g\'eom\'etrie vers les expressions en une variable ? 
Apparemment, le probl\`eme 
central \'etait celui de
\emph{calculer} des fonctions, que leur origine soit g\'eom\'etrique ou non. 
L'on a mis
l'accent sur le \emph{r\'esultat} du calcul, exprim\'e \`a l'aide d'une 
\emph{formule} en la variable.  Il y a de mani\`ere implicite la
croyance que l'on obtient ainsi la m\^eme extension du concept,
c'est-\`a-dire que  les fonctions d\'efinies 
g\'eom\'etriquement sont les m\^emes que celles repr\'esent\'ees par 
des formules. Croyance qui ressemble \`a celle que
l'on peut avoir en la possibilit\'e de repr\'esenter tout aspect du
monde \`a l'aide du langage. Mais cette derni\`ere croyance entre 
en conflit avec le \emph{sentiment} de l'existence  des
\emph{myst\`eres},  des aspects de la r\'ealit\'e
indescriptibles verbalement. 

Ce qui est int\'eressant lorsque l'on consid\`ere le probl\`eme
analogue de la repr\'esentabilit\'e des fonctions par des expressions 
emboitant diverses op\'erations \'el\'ementaires, c'est que l'on peut
\emph{d\'emontrer des th\'eor\`emes} affirmant que certains objets que l'on a 
tr\`es fortement envie d'appeler `fonctions' ne sont pas exprimables
\`a l'aide d'un nombre \emph{fini} d'op\'erations
\'el\'ementaires (on pourra penser aux th\'eories de Galois et de G\"odel). 
Probablement que le souci de faire n\'eanmoins
coincider les deux d\'efinitions \`a pouss\'e \`a r\'ep\'eter les
op\'erations \emph{\`a l'infini}, ce qui a donn\'e naissance \`a
l'\emph{analyse}. Par exemple, la fonction $\sin x$ ne s'exprime pas
\emph{alg\'ebriquement} en termes de la variable $x$, c'est-\`a-dire en 
empilant des extractions de racines d'\'equations polynomiales  (sinon elle
aurait un nombre fini de z\'eros), mais on peut l'exprimer en 
emboitant  une infinit\'e d'op\'erations arithm\'etiques :
 $$\sin x = x \prod_{n=1}^{\infty} (1- \frac{x^2}{n^2 \pi^2}).  $$

L'exemple le plus simple de fonction alg\'ebrique qui ne soit pas 
obtenue en emboitant les op\'erations de l'arithm\'etique est $\sqrt{x}$. 
La raison profonde est que cette expression d\'esigne en fait une 
fonction \emph{multivalu\'ee}, c'est-\`a-dire prenant \emph{plusieurs} 
valeurs pour certaines 
valeurs de la variable, par opposition aux fonctions dont on parlait 
pr\'ec\'edemment, qualifi\'ees \`a pr\'esent d'\emph{univalu\'ees}. En effet, 
$x$ \'etant donn\'e, il y a en g\'en\'eral \emph{deux} nombres (r\'eels ou 
complexes) dont le carr\'e vaut $x$.  La volont\'e d'exprimer les fonctions 
par des formules pousse donc \`a r\'einterpr\'eter la notion de fonction, 
en ouvrant la porte aux fonctions multivalu\'ees . 



Que faire si, par exemple parce que certaines op\'erations avec les 
fonctions multivalu\'ees sont probl\'ematiques, on veut  \'eviter ces fonctions ? 
Vers 1850,  Bernhard Riemann a eu la tr\`es belle id\'ee
que toute fonction 
multivalu\'ee peut \^etre pens\'ee comme une fonction
\emph{univalu\'ee}, si on lui associe 
\emph{un nouvel ensemble-source}, qui lui est intimement 
attach\'e : il a d\'ecrit cela pour les
fonctions d'une variable complexe, le nouvel ensemble \'etant depuis
appel\'e \emph{la  surface de Riemann} de la fonction
multivalu\'ee. En simplifiant, et en sacrifiant le langage imag\'e de
Riemann, cela consiste \`a prendre comme nouvel ensemble-source le
\emph{graphe} de la fonction multivalu\'ee dans le \emph{produit
  cart\'esien} de la source et du but. 

Voici ce qu'\'ecrivit  Ren\'e Thom au sujet de ce
mouvement de la pens\'ee, 
qui ram\`ene la description math\'ematique d'un ph\'enom\`ene 
\`a des fonctions
univalu\'ees (page 12 du suppl\'ement au no. 103 
de la Gazette des Math\'ematiciens, consacr\'e \`a Ren\'e Thom) :  



\emph{Pour en revenir {\`a} la notion de fonction, qu'est-ce qui
  en fait l'int{\'e}r{\^e}t essentiel d'un point de vue philosophique ? Eh
bien, la nature telle qu'elle se pr{\'e}sente {\`a} nous est toujours un
m{\'e}lange de d{\'e}terminisme et d'ind{\'e}terminisme. Il y a toujours un
aspect d{\'e}termin{\'e} et un aspect ind{\'e}termin{\'e} dans les
choses. L'int{\'e}r{\^e}t essentiel de la notion de fonction est de
s{\'e}parer brutalement ces deux aspects en mettant l'aspect
ind{\'e}termin{\'e} dans ce qu'on appelle la variable et l'aspect
d{\'e}termin{\'e} dans la correspondance qui fait passer de la valeur de
la variable, la valeur de l'argument $x$, {\`a} la valeur de la fonction
$y$. On a donc pouss{\'e} {\`a} l'extr{\^e}me cette opposition
d{\'e}terminisme/ind{\'e}terminisme en mettant tout l'ind{\'e}terminisme
dans une variable qui est parfaitement arbitraire, except{\'e} qu'elle
doit varier dans un espace, et en rigidifiant au contraire de
mani{\`e}re stricte la loi qui fait passer de $x$ {\`a} $y$.}


Notre interpr\'etation de la notion de fonction oscille donc entre celle 
de fonction univalu\'ee et
celle de fonction multivalu\'ee, entre autres sous la pression du besoin 
d'avoir une description aussi d\'eterministe que possible du monde. Sous 
la pression d'autres besoins qu'il serait tr\`es int\'eressant d'expliciter, 
elle oscille aussi entre la notion 
d'expression (ou formule) et celle de sous-espace d'un espace
produit, ou entre celle d'\^etre diffus vivant sur l'espace source et celle 
de point
dans un `espace fonctionnel' qui peut \^etre donn\'e a priori, et \`a
partir duquel va na\^{\i}tre l'espace source comme une apparition (ce
que les math\'ematiciens app\`elent un \emph{spectre}). 

Cette
possibilit\'e d'osciller entre les interpr\'etations est le signe que 
l'on se trouve face \`a une notion tr\`es riche, situ\'ee \`a  un carrefour de la pens\'ee. 
Afin de s'entendre lorsque l'on parle de telles notions, et de saisir 
plus profond\'ement leur \emph{fonctionnement}, il ne suffit pas de les 
d\'efinir, il faut en outre attentivement expliquer de quelle mani\`ere on y pense, 
et \`a quels moments-charni\`eres d'un raisonnement se produisent 
les basculements d'interpr\'etation. 





\end{document}


