Deux tétraèdres de même volume

Le tétraèdre régulier est de même volume qu'un quart d'octaèdre, qui est un tétraèdre dont deux faces sont des triangles equilatéraux et deux autres des triangles rectangles isocèles (des demi-carrés) qui se coupent à angle droit.

On montre que ces deux tétraèdres ont même volume à l'aide du principe de Cavalieri: en choisissant un triangle équilatéral comme base, le sommet peut bouger dans un plan horizontal sans changer le volume du tétraèdre correspondant. Et on passe de l'un à l'autre dans une symétrie par rapport à un plan vertical contenant une arête de base.

Démontrer cette égalité de volume de manière analytique. Quel est le volume d'un tétraèdre? D'une pyramide de manière plus générale?

f(x) = If[x  <  -0.25, -1, If[x > 0.25, 1, (4 * x)]]
u = 0.25 (slider from -1 to 1, step 0.05)
a, face1, face2, face3, arête1, arête2, arête3 = Pyramid(Polygon[(0, 0), (1, 0), 3], (0.5, f(u) / sqrt(12), sqrt(2 / 3)))
α, β, γ = Angle(face2)
δ, ε, ζ = Angle(face3)
i = Segment((0.5, 1 / sqrt(12), 0), (0.5, -1 / sqrt(12), 0))
h = Segment((0.5, f(u) / sqrt(12), sqrt(2 / 3)), (0.5, f(u) / sqrt(12), 0))
η = Angle((0.5, 1 / sqrt(12), 0), (0.5, f(u) / sqrt(12), 0), (0.5, f(u) / sqrt(12), sqrt(2 / 3)))
g = Segment((0.5, -1 / sqrt(12), sqrt(2 / 3)), (0.5, 1 / sqrt(12), sqrt(2 / 3)))
ι = Angle(g, h)