Trois tétraèdres et une pyramide

Quatre solides de même volume, le tétraèdre régulier de côté [math]\frac 1{\sqrt{2}}[/math], un tétraèdre quart d'octaèdre composé de deux triangles équilatéraux de côté [math]\frac 1{\sqrt{2}}[/math] et d'un carré plié à angle droit selon l'hypoténuse unité, et le vingt-qautrième de cube, composé d'un demi carré d'hypoténuse unité, d'une hauteur  [math]\frac 12[/math] placée à l'applomb du coin, et la pyramide à base carré de côté  [math]\frac 12[/math]  et d'hauteur de même longueur, l'apex à l'applomb d'un coin.

Prouver analytiquement, ou en utilisant le principe de Cavalieri, que ces trois solides ont même volume.

u = 0.516 (slider from -0.25 to 0.6, step 0.002)
h = Line((1, -1, 0), (1, -1, 1))
B: (4 / 3, 1 / 3, -1 / 3)
w: (8 * If[u > 0.375, If[u  <  0.5, u - 0.375, 0.125], 0])
v: -1 + (8 * If[u > 0.125, If[u  <  0.25, u - 0.125, 0.125], 0])
c, face11, face12, face13, arête11, arête12, arête13 = Pyramid(Polygon[(1, -1, 0), (0, 0, 0), (1, 0, 1)], B)
b, face1, face2, face3, arête1, arête2, arête3 = Pyramid(Polygon[(0, 0), (2, 0), (1, -1)], (1, -1, 1))
d, face8, face9, face10, arête8, arête9, arête10 = Pyramid(Polygon[(0, 0), (2, 0), (1, -1)], (1, 0, 1))
m, face18, face19, face20, arête20, arête21, arête22 = Pyramid(Polygon[(1, -1, 0), (0, 0, 0), (1, 0, 1)], ((1 - w) * (2, 0, 0)) + (w * B))
e, face15, face16, face17, arête17, arête18, arête19 = Pyramid(Polygon[(0, 0), (2, 0), (1, -1)], (1, v, 1))
l = Segment((1, -1, 1), (1, 0, 1))
t: If[u > -0.125, If[u  <  0, u, 0], -0.125] / 0.125
g = Rotate(Pyramid[Polygon[(2, 0), (1, 0), (1, -1)], (1, -1, 1)], ((3 * t) * π / 2), h)
n = Segment((2, 0, 0), B)
f, face14, face22, face21, arête14, arête15, arête16 = Pyramid(Polygon[(0, 0), (1, 0), (1, -1)], (1, -1, 1))
a, face4, face6, face7, face5, arête4, arête5, arête6, arête7 = Pyramid(Polygon[(0, 0), (1, 0), (1, -1), (0, -1)], (1, -1, 1))